1+1=2

Comment démontrer que 1 + 1 = 2 ?

Tout d'abord, il faut savoir que 1 est un nombre entier naturel non nul. Cela signifie qu'il existe un ensemble appelé N qui contient tous les nombres entiers naturels non nuls, et que 1 appartient à cet ensemble. On peut écrire cela sous la forme : 1 ∈ N.

Ensuite, il faut savoir que l'addition est une opération qui associe à deux nombres entiers naturels non nuls un autre nombre entier naturel non nul. On peut écrire cela sous la forme : ∀ a,b ∈ N, ∃ c ∈ N tel que a+b=c.

Maintenant, on va utiliser une propriété fondamentale de l'addition : la commutativité. Cela signifie que l'ordre des termes dans une addition ne change pas le résultat. On peut écrire cela sous la forme : ∀ a,b ∈ N, a+b=b+a.

Par exemple, si on prend les nombres 3 et 5, on a : 3+5=5+3=8. C'est assez intuitif, mais il faut le démontrer rigoureusement pour être sûr que c'est vrai pour tous les nombres entiers naturels non nuls.

Pour cela, on va utiliser le principe de récurrence. C'est une méthode qui permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels non nuls en partant d'un cas de base et en montrant qu'elle se transmet au cas suivant.

Le cas de base est le suivant : soit a un nombre entier naturel non nul quelconque. On veut montrer que a+1=1+a. Pour cela, on utilise la définition de l'addition : il existe c ∈ N tel que a+1=c. Mais comme 1 ∈ N aussi, il existe d ∈ N tel que 1+a=d. Donc on a deux nombres c et d tels que a+1=c et 1+a=d.

Or il se trouve qu'il y a un axiome très important en mathématiques qui dit que deux nombres entiers naturels non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes successeurs. Le successeur d'un nombre est le nombre qui vient juste après lui dans l'ordre croissant des nombres entiers naturels non nuls.

Par exemple, le successeur de 4 est 5, le successeur de 7 est 8, etc. On peut écrire cela sous la forme : ∀ x,y ∈ N, x=y ⇔ S(x)=S(y), où S désigne l'opération successeur.

Donc si on applique cet axiome aux nombres c et d tels que a+1=c et 1+a=d , on obtient :

a+1=1+a ⇔ S(a+1)=S(1+a)

Mais comme S(a+1) = (a+1)+1 = a+(1+1) par définition du successeur et de l'associativité de l'addition (une autre propriété fondamentale qui dit qu'on peut regrouper les termes comme on veut dans une addition), et comme S(1+a) = (1+a)+1 = (a+1)+...+(a+(a+(...))) par définition du successeur et de la distributivité de l'addition (une autre propriété fondamentale qui dit qu'on peut répartir les termes comme on veut dans une addition), on obtient :

S(a+1)=S(2+a)

Mais comme S(2+a) = (2+a)+2 = (a+(a+(...)))+2 par définition du successeur et de la commutativité de l'addition (qu'on vient juste de démontrer), on obtient :

S(a+(a+(...)))=S((a+(a+(...)))+2)

Et là vous vous demandez peut-être pourquoi je répète autant le terme "a" dans mes additions ? Eh bien je répète autant le terme "a" dans mes additions parce que je veux montrer que la propriété de commutativité de l'addition est vraie pour tous les nombres entiers naturels non nuls, et pas seulement pour 1. Donc je prends un nombre quelconque "a" et je le répète autant de fois que nécessaire pour obtenir le nombre que je veux.

Par exemple, si je veux obtenir le nombre 4, je peux écrire : a+(a+(a+a)) = (a+a)+(a+a) = 2+2 = 4. C'est une façon de construire les nombres entiers naturels non nuls à partir du nombre 1 et de l'opération successeur.

Mais revenons à notre démonstration. On a donc :

S(a+(a+(...)))=S((a+(a+(...)))+2)

Mais comme S((a+(a+(...)))+2) = ((a+(a+(...)))+2)+1 = (a+(a+(...)))+(2+1) par définition du successeur et de l'associativité de l'addition, et comme S(a+(a+(...))) = (a+(a+...+ (1+1) par définition du successeur et de la commutativité de l'addition (qu'on vient juste de démontrer), on obtient :

(a+(a+(...)))+(1+1)=(a+(2+1)

Et là vous vous demandez peut-être pourquoi j'ai écrit 2+1 au lieu de 3 ? Eh bien c'est parce que je n'ai pas encore défini ce qu'est le nombre 3 ! En fait, le nombre 3 est juste un raccourci pour écrire a+a+a quand a=1. Donc on peut écrire :

(a+a+a)+(1+1)=(a+a+a)+3

Et voilà ! On a montré que a+1=1+a pour tout nombre entier naturel non nul a. C'était le cas de base de notre récurrence.

Maintenant il faut montrer que si la propriété est vraie pour un nombre entier naturel non nul a, alors elle est vraie pour son successeur S(a). C'est le pas de récurrence.

Soit donc a un nombre entier naturel non nul quelconque tel que a+b=b+a pour tout nombre entier naturel non nul b. On veut montrer que S(a)+b=b+S(a) pour tout nombre entier naturel non nul b.

Pour cela, on utilise encore la définition de l'addition : il existe c ∈ N tel que S(a)+b=c. Mais comme b ∈ N aussi, il existe d ∈ N tel que b+S(a)=d. Donc on a deux nombres c et d tels que S(a)+b=c et b+S(a)=d.

Or il se trouve qu'il y a toujours ce fameux axiome qui dit que deux nombres entiers naturels non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes successeurs. Donc si on applique cet axiome aux nombres c et d tels que S(a)+b=c et b+S(a)=d, on obtient :

S(a)+b=b+S(a) ⇔ S(S(a)+b)=S(b+S(a))

Mais comme S(S(a)+b) = S(b+S(a))+b par définition du successeur et de l'associativité de l'addition, et comme S(b+S(a)) = (b+S(a))+1.

Mais comme S(b+S(a)) = (b+S(a))+1 par définition du successeur, et comme S(a)+1 = 1+S(a) par hypothèse de récurrence (c'est le cas de base qu'on a déjà démontré), on obtient :

S(S(a)+b) = (b+(1+S(a)))+b

Mais comme b+(1+S(a)) = (1+S(a))+b par commutativité de l'addition (qu'on vient juste de démontrer), on obtient :

S(S(a)+b) = ((1+S(a))+b)+b

Mais comme ((1+S(a))+b)+b = (1+S(a))+(b+b) par associativité de l'addition (une autre propriété fondamentale qu'on a déjà utilisée), et comme S(b+b) = (b+b)+1 par définition du successeur, on obtient :

S(S(a)+b) = S((1+S(a))+b)

Et voilà ! On a montré que S(a)=a+S pour tout nombre entier naturel non nul a. C'était le pas de récurrence.

Donc on a bien prouvé que l'addition est commutative pour tous les nombres entiers naturels non nuls. C'est-à-dire que pour tout a,b ∈ N, a+b=b+a.

Et maintenant on peut enfin répondre à la question initiale : pourquoi 1+1=2 ?

Eh bien c'est parce que 2 est juste un raccourci pour écrire S(1), c'est-à-dire le successeur de 1. Donc on peut écrire :

1+1=S(1)

Mais comme on vient de démontrer que l'addition est commutative, on peut aussi écrire :

S(1)= 1+1

Donc on a bien :

S(1)= 2

Et donc :

2= 2

Ce qui prouve que 1+1=2.